Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11

Chứng minh rằng với n N*

một³+ 3n²+ 5n chia hết cho 3.

B 4^N+ 15n–1 chia hết cho 9

CN³+ 11n chia hết cho 6.

Câu trả lời

Hướng dẫn

Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức có tới n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh rằng đẳng thức có tới n = k + 1.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi n∈*.

a) Cách 1: Quy nạp

Đặt A_N = n³ + 3n² + 5n

+ Ta có: với n = 1

Một_{Đầu tiên} = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết cho 3

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Một_k = (k³ + 3k² + 5k) chia hết cho 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh A_{k+Đầu tiên} chia hết cho 3

Thật vậy, chúng ta có:

Một_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= (k³ + 3k² + 5k) + 3k² + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k³ + 3k² + 5k 3

3k nào² + 9k + 9 = 3.(k² + 3 k + 3) 3

Một_k+1 ⋮3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

có: n³ + 3n² + 5n

= n.(n² + 3n + 5)

= n.(n² + 3n + 2 + 3)

= n.(n² + 3n + 2) + 3n

= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n 3

N³ + 3n² + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vì thế³ + 3n² + 5n chia hết cho 3 với mọi n ∈ N*

B 4^N+ 15n–1 chia hết cho 9

Đặt A_N = 4^N + 15n – 1

với n = 1 A_{Đầu tiên} = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết cho 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 có nghĩa là:

Một_k = (4 .)^k + 15k – 1) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: A._k+1 chia hết cho 9

Thật vậy, chúng ta có:

Một_k+1 = 4^k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4,4^k + 15k + 15 – 1

= (4 .)^k + 15k – 1) + (3.4^k + 15)

= Một_k + 3(4^k + 5)

Theo giả thiết quy nạp: A_k ⋮9.

Một lần nữa: 4^k + 5 = (3 + 1)k + 5 1 + 5 0 (mod 3)

4^k + 5⋮3.

3.(4^k + 5) 9

Một_k+1 = Một_k + 3.(4^k + 5) 9.

Vậy 4^N + 15n – 1 chia hết cho 9 n ∈ N*

c) Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp.

Đặt U_N = n³ + 11n

+ Với n = 1 U_{Đầu tiên} = 12 chia hết cho 6

+ Giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

bạn_k = (k³ + 11k) chia hết cho 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: U_k+1 = (k + 1)³ + 11(k + 1) chia hết cho 6

Thật vậy, chúng tôi có:

bạn_k+1 = ( k + ¹⁾³ + 11(k +1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 11k + 11

= (k³ + 11k) + 3k² + 3k + 12

= U_k + 3(k² +k+4)

Màu sắc_k ⋮ 6 (giả định quy nạp)

3.(k² + k + 4) 6. (Vì k² + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

bạn_k+1 6.

Vì thế³ + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

có: n³ + 11n

= n³ – n + 12n

= n(n² – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 ước chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Nhắc lại: 12n 6

N³ + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

Nhìn thấy tất cả Giải Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

Đăng bởi: THCS Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Lớp 11 , Toán 11

Bạn thấy bài viết Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11
có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11
bên dưới để duhoc-o-canada.com có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: duhoc-o-canada.com của duhoc-o-canada.com

Chuyên mục: Giáo dục

Nhớ để nguồn bài viết này: Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11
của website duhoc-o-canada.com