Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11

Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11

Chứng minh rằng với n N*

một3+ 3n2+ 5n chia hết cho 3.

B 4N+ 15n–1 chia hết cho 9

CN3+ 11n chia hết cho 6.

Câu trả lời

Hướng dẫn

Áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử đẳng thức có tới n = k ≥ 1 (giả thiết quy nạp). Chứng minh rằng đẳng thức có tới n = k + 1.

Khi đó đẳng thức đúng với mọi n∈*.

a) Cách 1: Quy nạp

Đặt AN = n3 + 3n2 + 5n

+ Ta có: với n = 1

MộtĐầu tiên = 1 + 3 + 5 = 9 chia hết cho 3

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có:

Mộtk = (k3 + 3k2 + 5k) chia hết cho 3 (giả thiết quy nạp)

Ta chứng minh Ak+Đầu tiên chia hết cho 3

Thật vậy, chúng ta có:

Mộtk+1 = (k + 1)3 + 3(k + 1)2 + 5(k + 1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 3k2 + 6k + 3 + 5k + 5

= (k3 + 3k2 + 5k) + 3k2 + 9k + 9

Theo giả thiết quy nạp: k3 + 3k2 + 5k 3

3k nào2 + 9k + 9 = 3.(k2 + 3 k + 3) 3

Mộtk+1 ⋮3.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

có: n3 + 3n2 + 5n

= n.(n2 + 3n + 5)

= n.(n2 + 3n + 2 + 3)

= n.(n2 + 3n + 2) + 3n

= n.(n + 1)(n + 2) + 3n.

Mà: n(n + 1)(n + 2) 3 (tích của ba số tự nhiên liên tiếp)

3n 3

N3 + 3n2 + 5n = n(n + 1)(n + 2) + 3n ⋮ 3.

Vì thế3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3 với mọi n ∈ N*

B 4N+ 15n–1 chia hết cho 9

Đặt AN = 4N + 15n – 1

với n = 1 AĐầu tiên = 4 + 15 – 1 = 18 chia hết cho 9

+ giả sử đúng với n = k ≥ 1 có nghĩa là:

Xem thêm bài viết hay:  Most reptiles have three chambers in their hearts,…..some do have four.

Mộtk = (4 .)k + 15k – 1) chia hết cho 9 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: A.k+1 chia hết cho 9

Thật vậy, chúng ta có:

Mộtk+1 = 4k+1 + 15(k + 1) – 1

= 4,4k + 15k + 15 – 1

= (4 .)k + 15k – 1) + (3.4k + 15)

= Mộtk + 3(4k + 5)

Theo giả thiết quy nạp: Ak ⋮9.

Một lần nữa: 4k + 5 = (3 + 1)k + 5 1 + 5 0 (mod 3)

4k + 5⋮3.

3.(4k + 5) 9

Mộtk+1 = Mộtk + 3.(4k + 5) 9.

Vậy 4N + 15n – 1 chia hết cho 9 n ∈ N*

c) Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp.

Đặt UN = n3 + 11n

+ Với n = 1 UĐầu tiên = 12 chia hết cho 6

+ Giả sử đúng với n = k ≥ 1 ta có:

bạnk = (k3 + 11k) chia hết cho 6 (giả thiết quy nạp)

Ta cần chứng minh: Uk+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) chia hết cho 6

Thật vậy, chúng tôi có:

bạnk+1 = ( k + 1)3 + 11(k +1)

= k3 + 3k2 + 3k + 1 + 11k + 11

= (k3 + 11k) + 3k2 + 3k + 12

= Uk + 3(k2 +k+4)

Màu sắck ⋮ 6 (giả định quy nạp)

3.(k2 + k + 4) 6. (Vì k2 + k + 4 = k(k + 1) + 4 ⋮2)

bạnk+1 6.

Vì thế3 + 11n chia hết cho 6 ∀n ∈ N*.

Cách 2: Chứng minh trực tiếp.

có: n3 + 11n

= n3 – n + 12n

= n(n2 – 1) + 12n

= n(n – 1)(n + 1) + 12n.

Vì n(n – 1)(n + 1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có ít nhất 1 ước chia hết cho 2 và 1 thừa số chia hết cho 3.

⇒ n(n – 1)(n + 1) ⋮ 6.

Nhắc lại: 12n 6

N3 + 11n = n(n – 1)(n + 1) + 12n ⋮ 6.

Nhìn thấy tất cả Giải Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học

Xem thêm bài viết hay:  Lý thuyết Vật lý 10 Bài 33. Các nguyên lí của nhiệt động lực học

Đăng bởi: THCS Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Lớp 11 , Toán 11

Bạn thấy bài viết Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11
có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11
bên dưới để duhoc-o-canada.com có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: duhoc-o-canada.com của duhoc-o-canada.com

Chuyên mục: Giáo dục

Nhớ để nguồn bài viết này: Bài 2 trang 82 SGK Đại số 11
của website duhoc-o-canada.com

Viết một bình luận