Các dạng bài tập về cực trị cực đại

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Khái niệm về cực trị

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ℝ) và xo∈ D

cây rìuo được gọi là điểm tối đa của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm xo sao cho:

Khi đó f(xo) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f .

b) xo được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm xo sao cho:

Các dạng bài tập về cực trị cực hay (ảnh 2)

Khi đó f(xo) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f .

Các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất được gọi chung là các cực trị

Nếu xo là một điểm cực trị của hàm số f thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo .

Như vậy: Điểm cực trị phải là điểm trong của tập hợp D (D ⊂ ℝ)

Nhấn mạnh 😡o ∈ (a; b) D có nghĩa là xo là một điểm trong của D

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 3)

Chú ý

  • Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) f(x .)o) nói chung không phải là GTLN(GTNN) của f trên tập D.
  • Hàm số có thể có cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập D. Hàm số cũng có thể không có cực trị.
  • xo là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (xo ; f(xo)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .

2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Định lý 1: Giả sử hàm số f đạt cực đại tại điểm x. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại điểm xo thì f'(xo) = 0

Chú ý:

  • Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm xo nhưng hàm f không có cực đại tại điểm xo.
  • Hàm có thể đạt cực đại tại điểm mà hàm không có đạo hàm.
  • Một hàm chỉ có thể có cực đại tại điểm mà đạo hàm của hàm bằng 0 hoặc tại đó hàm không có đạo hàm.
  • Hàm số có cực đại tại x và nếu đồ thị của hàm số có tiếp tuyến tại điểm ( xo ; f(xo)) thì tiếp tuyến đó song song với trục hoành

Ví dụ : Hàm số y = |x| và hàm y = x3

3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

Định lý 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a; x)o) và (xo; b). Sau đó:

Xem thêm bài viết hay:  Giải đáp vì sao quang hợp có vai trò quyết định đối với sự sống trên Trái Đất

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 4)

Định lý 3: Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xo ; f'(xo) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm xo

a) Nếu f”(xo) o

b) Nếu f”(xo) o

Chú ý:

Không cần xét hàm f có hay không có đạo hàm tại điểm x = xo nhưng điều kiện là hàm số liên tục tại điểm x . không thể bỏ quao

B. Bài tập tìm cực trị của hàm số

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y’. Tìm những điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc y’ không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3… là các nghiệm).

Bước 3. Tính f”(x) và f”(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f”(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

II. Hình minh họa

Cho hàm y = x3 – 3x2 + 2. Phát biểu nào sau đây là đúng?

A. Hàm số có cực đại tại x = 2 và cực tiểu tại x = 0.

B. Hàm số có cực tiểu tại x = 2 và cực đại tại x = 0 .

C. Hàm số có cực đại tại x = -2 và cực tiểu tại x = 0 .

D. Hàm số có cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = -2.

Câu trả lời

Ta có: y’ = 3x2 – 6x = 0

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 5)

Và y” = 6x – 6

Suy ra: y”(0) = -6 0

Vậy hàm số có cực đại tại x = 0 và cực tiểu tại x = 2.

Suy ra, chọn câu trả lời KHÔNG

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực đại tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: Vì hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm M(x0; y0)

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 6)

Giải hệ phương trình ta thấy giá trị của m thỏa mãn.

Xem thêm bài viết hay:  Những đêm hè khi ve ve đã ngủ 8} bộ đề đọc hiểu

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x; y) thì y”(x)

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại điểm M(x; y) thì y”(x) > 0

II. Hình minh họa

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = x3 – mx2 + (2m – 3)x – 3 có cực đại tại x = 1.

A. m = 3

B. m > 3

C. m 3

Đ.m

Câu trả lời:

* Ta có đạo hàm: y’ = 3x2 – 2mx + 2m – 3

Để hàm số đạt cực đại x = 1 thì

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 7)

Vậy chọn đáp án B.

Dạng 3: Biện luận theo m cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm y’ = 3ax2 + 2bx + c; ‘=b2 – 3ac

Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.Vậy hàm số bậc ba không có cực trị khi b 2

– 3ac 0

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trịVậy hàm số bậc 3 có 2 cực trị khi b 2

– 3ac > 0

* Cực trị của hàm bậc haiCho hàm số y = ax 4+ bx 2

+ c có đồ thị là (C)Đạo hàm y’ = 4ax 3

+ 2bx. Xét phương trình y’ = 0Hoặc 4ax 3+ 2bx = 2x(2ax 2

+ b) = 0

Để đồ thị của hàm số đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là một nghiệm

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 9)

Để đồ thị của hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hoặc

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 10)

II. Hình minh họa

Cho hàm số y = (m – 1)x3 – 3×2 – (m + 1)x + 3m2 – m + 2. Để hàm số có cực đại, cực tiểu, xác định m?

A. m = 1

Bm 1

C. m > 1

Đm tùy ý.

Câu trả lời:

* Cách 1:

Ta có đạo hàm y’ = 3(m – 1)x2 – 6x – m – 1

Để hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt:

Các dạng bài tập về cực trị cực đại (ảnh 11).

* Cách 2:

Áp dụng công thức điều kiện để hàm số có cực đại và cực tiểu

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 12)

Vậy chọn đáp án B.

Dạng 4: Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải 1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc bay = trục 3+ bx 2

+ cx + d.Ta có đạo hàm y’ = 3ax 2

+ 2bx + c Vấn đề:

Xem thêm bài viết hay:  Bài 2 trang 60 sgk Địa Lí 11

Viết phương trình đi qua hai điểm, hai điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y’.

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).(Lưu ý: Làm xĐầu tiênx 2là điểm cực trị nên y'(x1) = 0; bạn'(x2

) = 0). Vấn đề:

Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T .

+ Tìm điều kiện để hàm số có một cực trị.

+ Phân tích liên hệ để áp dụng Viet vào phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh bài toán về cực trị của hàm số bậc hai.Cho hàm: y = ax 4+ bx 2

+ c có đồ thị là (C).Ta có y’ = 4ax 3+ 2bx = 2x(2ax 2

+ b)

Đồ thị hàm số (C) có 3 điểm cực trị khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt -b/2a > 0

Hàm số có 3 điểm cực trị: A(0;c)

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 14)

Độ dài đoạn thẳng:

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 15)

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ liệu

II. Hình minh họaTìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m/3.x 3+ 2 lần 2+ mx + 1 có 2 điểm cực trị thỏa mãn x Trường đại học

CT

B. -2

C. -2

D. 0

Câu trả lời:Đạo hàm y’ = mx 2

+ 4x + m
Cho hàm số có 2 điểm cực trị thỏa mãn xCD

Các dạng bài tập về cực trị hay nhất (ảnh 21)

Vậy chọn đáp án D.

Đăng bởi: THCS Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Lớp 12 , Toán 12

Bạn thấy bài viết Các dạng bài tập về cực trị cực đại
có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Các dạng bài tập về cực trị cực đại
bên dưới để duhoc-o-canada.com có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: duhoc-o-canada.com của duhoc-o-canada.com

Chuyên mục: Giáo dục

Nhớ để nguồn bài viết này: Các dạng bài tập về cực trị cực đại
của website duhoc-o-canada.com

Viết một bình luận