I. Lý thuyết về đường thẳng trong không gian
1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng
2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian
3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
4. Góc giữa 2 đường thẳng
5. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
6. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường
* Phép tính 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M1 và vuông góc với Δ.
– Tìm tọa độ giao điểm H của Δ và mặt phẳng (Q).
– d(M1,Δ) = M1H
* Phép tính 2:
7. Khoảng cách giữa 2 đường chéo
* Phép tính 1:
– Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (Δ) và song song với (Δ1).
– Tính khoảng cách từ M0M1 đến mặt phẳng (Q).
– d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)
* Phép tính 2:
II. Các dạng bài tập về đường thẳng trong không gian
Dạng 1: Viết PT của đường thẳng (d) đi qua một điểm và có VTCP
Phương pháp:
Câu trả lời:
Dạng 2: Viết PT của đường thẳng đi qua 2 điểm A, B
Phương pháp
Ví dụ: Viết đồ thị (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(-1; 1; 3);
Câu trả lời:
Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng
Phương pháp
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ:
Câu trả lời:
Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp(∝).
Phương pháp
Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A(1;1;-2) và vuông góc với mp(P): xyz-1=0
Câu trả lời:
Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).
Phương pháp:
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d khi d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1:
Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao điểm của 2 mp
– mp(P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0;
Phương pháp:
+ Giải pháp 1:
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Tìm tọa độ 2 điểm A, B ∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)
– Bước 2: Viết PT của đường thẳng đi qua 2 điểm AB.
+ Giải pháp 3:
– Đặt 1 trong 3 ẩn số bằng t (ví dụ x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn số còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): 2x+yz-3=0 và (Q): x+y+z-1=0.
Câu trả lời:
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp(P).
Phương pháp
– Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P).
– Bước 2: Phép chiếu để tìm d’= (P)∩(Q)
– Chú ý: Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d là điểm H=d∩(P)
Câu trả lời:
– Mặt phẳng Q đi qua d có phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0
⇔ (m+3n)x – 2ny + (-2m+n)z – 3n = 0
Q ⊥ P ⇔ 1.(m+3n) – 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0
⇔ m + 3n + 4n – 2m + n = 0 -m + 8n = 0
Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp(Q): 11x–2y–15z–3 = 0
– Vì hình chiếu d’ của d lên P nên d’ là giao điểm của P và Q nên phương trình của d’ sẽ là:
Dạng 8: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đường thẳng d1, d2
Phương pháp
+ Giải pháp 1:
– Bước 1: Viết PT của mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)(d2)
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Viết PT của mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1
– Bước 2: Viết PT của mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2.
– Bước 3: Kẻ vạch tìm d’= (α) (β)
+ Giải pháp 3:
– Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm B của d với d1 và C của d với d2
– Bước 2: Từ điều kiện 3 điểm thẳng hàng tính tọa độ B, C
– Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) và cắt hai đường thẳng d1:
Câu trả lời:
– Gọi B, C lần lượt là các điểm và d cắt d1 và d2, ta có tọa độ B(1+t;-t;0) và C(0;0;2+s)
Dạng 9: Viết PT đường thẳng d song song với d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3.
Phương pháp
– Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1 và chứa d2.
– Bước 2: Viết PT mp(Q) song song với d1 và chứa d3.
– Bước 3: Đường cần tìm d = (P)(Q)
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt (d1), (d2) có PT:
Câu trả lời:
Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2
Phương pháp
+ Giải pháp 1:
– Bước 1: Viết PT của mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d1.
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (α)(d2)
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm A và B.
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Viết PT mp(α) đi qua điểm A và vuông góc với d1.
– Bước 2: Viết PT mp(β) đi qua điểm A và chứa d2.
– Bước 3: Kẻ vạch cần tìm d = (α)(β)
Câu trả lời:
– PT mp(P)d2 nên nhận VTCP d2 làm V.T nên PT: 2x–5y+z+D=0
– PT mp(P) đi qua M(1;1;1) nên có: 2.1 – 5.1 + 1 + D = 0 D = 2
⇒ PT mp(P): 2x–5y + z + 2 = 0
– Tọa độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)
Dạng 11: Vẽ đường thẳng d đi qua điểm A song song với mp(α) và cắt đường thẳng d’
Phương pháp:
+ Giải pháp 1:
– Bước 1: Viết PT mp(P) đi qua điểm A và song song với mp(α).
– Bước 2: Viết PT mp(Q) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d’.
– Bước 3: Đường cần tìm d = (P)(Q)
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Viết PT của mặt phẳng (P) đi qua điểm A và song song với mặt phẳng (α)
– Bước 2: Tìm giao điểm B = (P)d’
– Bước 3: Đường thẳng cần tìm d đi qua hai điểm A và B.
Câu trả lời:
Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp(P) và cắt hai đường thẳng d1, d2 cho trước.
Phương pháp:
– Bước 1: Tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)
– Bước 2: d là đường thẳng đi qua hai điểm A và B.
Ví dụ: Cho 2 đoạn thẳng:
và mặt phẳng (P): x–y–2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng d1 , d2;
Câu trả lời:
– Cho A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọa độ của A và B lần lượt là: A(-1+2t;1-t;1+t) và B(1+s;2+s;-1+2s)
– Ta có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0 ⇔ t = 1 ⇒ A(1;0;2)
– Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0 ⇔ s = 1 ⇒ B(2;3;1)
Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng d’ cho trước tại giao điểm I của d’ và mp(P).
Phương pháp
Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với hai đường chéo d1, d2.
Phương pháp
+ Giải pháp 1:
– Bước 4: Kẻ đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q). (Bây giờ ta chỉ cần tìm thêm 1 điểm M thuộc d).
+ Giải pháp 2:
– Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct) ∈ d1; N(x0’+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’) d2 là chân các đường vuông góc chung của d1 và d2.
– Bước 2: Ta có
– Bước 3: Thay t và t’ vừa tìm được vào tọa độ M, N để tìm M, N. Đường thẳng cần tìm d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.
– Lưu ý: Cách 2 cho phép ta tìm ngay độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường chéo.
Câu trả lời:
Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt hai đường thẳng d1 và d2.
Phương pháp:
– Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1 và vuông góc với (P).
– Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2 và vuông góc với (P).
– Bước 3: Kẻ đường thẳng cần tìm d = (P) ∩ (Q).
Câu trả lời:
Dạng 16: Vẽ PT đường thẳng d đi qua điểm A, cắt nhau và vuông góc với đường thẳng d.
Phương pháp:
– Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, cách làm tương tự như dạng 10.
Đăng bởi: THCS Ngô Thì Nhậm
Chuyên mục: Lớp 12 , Toán 12
Bạn thấy bài viết Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian
có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian
bên dưới để duhoc-o-canada.com có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: duhoc-o-canada.com của duhoc-o-canada.com
Chuyên mục: Giáo dục
Nhớ để nguồn bài viết này: Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian
của website duhoc-o-canada.com