Công thức tính độ dài đường trung tuyến – Giải Toán 10

Đường trung tuyến là gì?

Trung trực của một đoạn thẳng là đoạn thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó

Đường trung tuyến trong tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với các cạnh đối diện. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến

Tính chất của đường trung tuyến

Trong một tam giác thường, vuông và cân, tính chất của các trung tuyến là khác nhau.

Đường trung tuyến trong một tam giác thường có ba tính chất như sau:

  • Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm cách đỉnh của tam giác đó một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.
  • Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm
  • Trọng tâm của tam giác: Trọng tâm của tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

Tính chất các đường trung tuyến của tam giác vuông:

Tam giác vuông là trường hợp đặc biệt của tam giác có một góc bằng 90 độ và hai cạnh góc vuông góc với nhau.

Do đó, đường trung tuyến của một tam giác vuông sẽ có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến của một tam giác.

Định lý 1: Trong một tam giác vuông, đường trung bình của cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.

Định lý 2: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa độ dài của cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.

Ví dụ:

Tam giác ABC vuông tại A, độ dài trung tuyến AM lần lượt là MB, MC và 1/2 BC

Ngược lại, nếu AM = 1/2 BC thì tam giác ABC vuông tại A.

Xem thêm bài viết hay:  Các dạng toán về phương trình đường thẳng trong không gian

Tính chất đường trung tuyến của tam giác đều và tam giác cân

  • Đường trung tuyến của cạnh đáy thì vuông góc với cạnh đó và chia tam giác thành 2 tam giác bằng nhau

Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b và AB = c. Gọi ma; mb; mc lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác. sau đó

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 2)[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 3)

Hình minh họa

Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Câu trả lời:

Gọi độ dài đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; MC.

Áp dụng công thức trung tuyến ta có:

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 4)

Vì độ dài của các trung tuyến (là độ dài của đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 5)

Bài 2: Cho tam giác MNP cân tại M, biết MN = MP = 8cm, NP = 7cm. Vẽ lộ tuyến MI. Chứng minh MI NP

Câu trả lời

Ta có MI là đường trung tuyến của MNP nên IN = IP

Mặt khác MNP là tam giác cân tại M

=> MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

=> MI NP

Bài 3: Cho tam giác ABC, BC = a, CA = b và AB = c. Chứng minh rằng nếu b2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau.

Câu trả lời:

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 6)

Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, G là trọng tâm tam giác ABC.

Đặt BE = mbCD = mc

Áp dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ABC ta có:

Xem thêm bài viết hay:  Giỏi Văn – Bài văn: Soạn bài: Thuyết minh về một phương pháp cách làm

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 7)

Vì vậy B2 + c2 = 5a2 thì hai trung tuyến kẻ từ B và C của tam giác vuông góc với nhau. (đpcm)

Bài 4: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE = 1/3AC. Tia BE cắt CD tại M. Chứng minh:

a) M là trung điểm của CD

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 8)

Câu trả lời:

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 9)

một. Xét tam giác BDC có AB = AD, AC là trung tuyến của tam giác BCD

Mặt khác

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường trung tuyến (Hình 10)

Suy ra E là trọng tâm tam giác BCD .

M là giao điểm của BE và CD

Vậy BM là đường trung bình của tam giác BCD

Vậy M là trung điểm của CD

b. A là trung điểm của BD

M là trung điểm của DC

Vậy AM là trung tuyến của tam giác BDC .

Vậy AM = 1/2 BC

Bài 5: Cho tam giác cân ABC cân tại A, các trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.

một. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.

b. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA, GC. Chứng minh AK, BD, CI đồng quy.

Câu trả lời:

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường trung tuyến (Hình 11)

một. Ta có BD là đường trung bình của tam giác ABC

CE là trung tuyến của tam giác ABC

Vậy G là trọng tâm tam giác ABC

Vì AH đi qua G nên AH là trung tuyến của tam giác ABC

HB = HC

Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

Chung AH

HB = HC

ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)

b. Ta có IA = IG nên CI là trung tuyến của tam giác AGC (1)

Xem thêm bài viết hay:  Sáng kiến kinh nghiệm: Rèn luyện kỹ năng gõ mười ngón cho học sinh

Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)

DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra 3 trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = AC, gọi K là giao điểm của hai trung tuyến BM và CN. Chứng minh rằng:

một. Tam giác BNC và tam giác CMB bằng nhau

b. KB = KC

c. trước công nguyên

Câu trả lời:

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường trung tuyến (Hình 12)

một. Ta có: AB = AC (gt)

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 13)

BN = CM

Xét ΔBCN và ΔCBM có:

BC là cạnh chung

BN = CM

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường phân cách (ảnh 14)

Vậy tam giác KBC cân tại A

Suy ra KB = KC

c. Xét ∆ABC có:

NA = NB (CN là trung tuyến)

MA = MC (MB là đường trung tuyến)

Vậy NM là đường trung bình của tam giác ABC

[CHUẨN NHẤT]    Công thức tính độ dài đường trung tuyến (Hình 15)

Xét tam giác NKM có:

NM

Nhập = CN – CKC

TCN/2

ΔBNC = CMB ⇒ CN = BM (2)

Tam giác KBC cân K ⇒ CK = BK (3)

Từ (1), (2), (3) TCN/2

TCN/2

trước công nguyên

Đăng bởi: THCS Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Điểm 10 , Toán 10

Bạn thấy bài viết Công thức tính độ dài đường trung tuyến – Giải Toán 10
có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Công thức tính độ dài đường trung tuyến – Giải Toán 10
bên dưới để duhoc-o-canada.com có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: duhoc-o-canada.com của duhoc-o-canada.com

Chuyên mục: Giáo dục

Nhớ để nguồn bài viết này: Công thức tính độ dài đường trung tuyến – Giải Toán 10
của website duhoc-o-canada.com

Viết một bình luận