Cực tiểu là gì?

Câu hỏi: Tối thiểu là bao nhiêu?

Câu trả lời

Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) và điểm x ∈ (a; b). Nếu tồn tại một số h> 0 sao cho f (x)> f (x), x (x – H ; x + h), xx thì ta nói hàm f đạt cực tiểu tại x.

Mời bạn đọc cùng trường THCS Ngô Thì Nhậm tìm hiểu thêm về cực trị của hàm số qua bài viết dưới đây.

1. Lý thuyết cực trị của hàm

Điểm cực trị của hàm số là điểm có giá trị lớn nhất so với xung quanh và giá trị nhỏ nhất so với xung quanh mà hàm số đạt được. Trong hình học, nó biểu thị khoảng cách lớn nhất từ ​​điểm này đến điểm khác và khoảng cách nhỏ nhất từ ​​điểm này đến điểm khác. Đây là khái niệm cơ bản về cực trị của một hàm.

Định nghĩa

Giả sử hàm f xác định trên K (K ℝ) và x K

cây rìu được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) K chứa điểm x sao cho f(x) 0), x ∈ (a;b) {x}

→ Khi đó f(x) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm f.

b) x được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a; b) K chứa điểm x sao cho f(x) > f(x), x (a;b) {x}

→ Khi đó f (x) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f.

Chú ý:

1) Điểm tối đa (tối thiểu) x gọi chung là điểm cực trị. Giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) f(x .)) của hàm số được gọi là cực trị. Hàm số có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K.

2) Nói chung, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) f(x) không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập K; f (x) chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm f trên khoảng (a;b) chứa x.

3) Nếu x là một điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x; f (x)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lý 1:

f(x) đạt cực đại tại x có đạo hàm tại x thì f'(x) = 0

Ghi chú:

+) Điều ngược lại có thể không đúng. Đạo hàm f’ có thể bằng 0 tại điểm x nhưng hàm số f không đạt cực đại tại x0.

+) Hàm số có thể có cực đại tại điểm mà hàm số không có đạo hàm.

3. Điều kiện đủ để hàm số có một cực trị

Định lý 2:

Định lý 3:

– Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm xf'(x₀₎ = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x.

a) Nếu f”(x) 0.

b) Nếu f ” (x)> 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x.

c) Nếu f”(x) = 0 thì chưa kết luận được, cần lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu của đạo hàm.

4. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

Quy tắc I:

+) Bước 1: Tìm tập xác định.

+) Bước 2: Tính y’ = f'(x). Tìm x khi f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

+) Bước 3: Tính các giới hạn cần thiết.

+) Bước 4: Lập bảng biến thiên.

+) Bước 5: Kết luận điểm cực trị.

Quy tắc II

+) Bước 1: Tìm tập xác định.

+) Bước 2: Tính y’ = f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm x_{Đầu tiên}x₂… (nếu có) của nó.

+) Bước 3: Tính f”(x) rồi suy ra f”(x_{Đầu tiên}), f”(x₂),…

+) Bước 4: Dựa vào dấu f”(x_{Đầu tiên}), f ” (x₂),… Để kết luận.

5. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số y = f (x) liên tục trên R, có đạo hàm f ′ = x (x − 1)²(x + 1)³. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?

Dung dịch:

Ta có bảng biến thiên:

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số có hai điểm cực trị là x=-1 và x=0.

Bài tập 2: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x³ – 3x + 1.

Dung dịch:

Tập xác định: D=R.

Ta có: y′ = 3x² – 3.

y′ = 0 3x² – 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = -1.

x = 1 ⇒ y = -1.

x = -1 ⇒ y = 3.

Ta có các giới hạn: limx → −∞ = −∞; limx → + ∞ = + ∞.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là y_{đĩa CD} = 3.

Đăng bởi: THCS Ngô Thì Nhậm

Chuyên mục: Lớp 12, Toán 12

Bạn thấy bài viết Cực tiểu là gì?
có khắc phục đươc vấn đề bạn tìm hiểu ko?, nếu ko hãy comment góp ý thêm về Cực tiểu là gì?
bên dưới để duhoc-o-canada.com có thể thay đổi & cải thiện nội dung tốt hơn cho các bạn nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website: duhoc-o-canada.com của duhoc-o-canada.com

Chuyên mục: Giáo dục

Nhớ để nguồn bài viết này: Cực tiểu là gì?
của website duhoc-o-canada.com